Question

16．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的短軸長為2$\sqrt{3}$，右焦點為F（1，0），點M是橢圓C上異于左、右頂點A，B的一點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線AM與直線x=2交于點N，線段BN的中點為E．證明：點B關(guān)于直線EF的對稱點在直線MF上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知b=$\sqrt{3}$，c=1，a²=b²+c²=4，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）由“點B關(guān)于直線EF的對稱點在直線MF上”等價于“EF平分∠MFB”設(shè)直線AM的方程，代入橢圓方程，由韋達定理求得M點坐標，分類討論，當MF⊥x軸時，求得k的值，即可求得N和E點坐標，求得點E在∠BFM的角平分線所在的直線y=x-1或y=-x+1，則EF平分∠MFB，當k≠$\frac{1}{2}$時，即可求得直線MF的斜率及方程，利用點到直線的距離公式，求得$d=\frac{{|8k+2k（4{k^2}-1）-4k|}}{{\sqrt{16{k^2}+{{（4{k^2}-1）}^2}}}}$=|BE|，則點B關(guān)于直線EF的對稱點在直線MF上．

解答 解：（Ⅰ）由題意得2b=2$\sqrt{3}$，則b=$\sqrt{3}$，c=1，則a²=b²+c²=4，則a=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$； 
（Ⅱ）證明：“點B關(guān)于直線EF的對稱點在直線MF上”等價于“EF平分∠MFB”．
設(shè)直線AM的方程為y=k（x+2）（k≠0），則N（2，4k），E（2，2k）．…（7分）
設(shè)點M（x₀，y₀），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得（4k²+3）x²+16k²x+16k²-12=0，
由韋達定理可知-2x₀=$\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，則x₀=$\frac{-8{k}^{2}+6}{3+4{k}^{2}}$，y₀=k（x₀+2）=$\frac{12k}{3+4{k}^{2}}$，
①當MF⊥x軸時，x₀=1，此時k=±$\frac{1}{2}$．
則M（1，±$\frac{3}{2}$），N（2，±2），E（2，±1）．
此時，點E在∠BFM的角平分線所在的直線y=x-1或y=-x+1，
即EF平分∠MFB．  …（10分）
②當k≠$\frac{1}{2}$時，直線MF的斜率為k_MF=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$=$\frac{4k}{1-4{k}^{2}}$，
所以直線MF的方程為4kx+（4k²-1）y-4k=0．      …（11分）
所以點E到直線MF的距離$d=\frac{{|8k+2k（4{k^2}-1）-4k|}}{{\sqrt{16{k^2}+{{（4{k^2}-1）}^2}}}}$=$\frac{{|4k+2k（4{k^2}-1）|}}{{\sqrt{{{（4{k^2}+1）}^2}}}}$=$\frac{{|2k（4{k^2}+1）|}}{{|4{k^2}+1|}}$=|2k|=|BE|．
即點B關(guān)于直線EF的對稱點在直線MF上，
綜上可知：點B關(guān)于直線EF的對稱點在直線MF上．  …（14分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，點到直線的距離公式，考查分類討論思想，屬于中檔題．