Question

（本小題滿(mǎn)分14分）
已知數(shù)列的第1項(xiàng)，且.
（1）計(jì)算，，；
（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

Answer 1

（1）1，，，；（2），證明見(jiàn)解析.

第一問(wèn)中利用已知的遞推關(guān)系式可知借助于首項(xiàng)1，得到第二項(xiàng)和第三項(xiàng)和第四項(xiàng)。
第二問(wèn)中，根據(jù)第一問(wèn)中特殊情況，推廣到一般，得到猜想，然后結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法加以證明即可。
解：（1）由題意，當(dāng)n=1時(shí)，；
當(dāng)n=2時(shí)，；             （1分）
當(dāng)n=3時(shí)，；             （2分）
當(dāng)n=4時(shí)，.               （3分）
（2）猜想.                      （6分）
①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立；                    （8分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（）時(shí)猜想成立，即，   （9分）
那么，，               （11分）
所以，當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立.                   （12分）
根據(jù)①和②，可知猜想對(duì)任何都成立.       （14分）