Question

某學(xué)生在體育訓(xùn)練時(shí)弄傷了膝關(guān)節(jié)，醫(yī)生給開(kāi)了一些消炎藥，并叮囑早晚8點(diǎn)各服用一片藥片．現(xiàn)知道該藥片每片220毫克，他的腎臟每12小時(shí)從體內(nèi)濾出該藥的60%；并且如果這種要在體內(nèi)的殘留量超過(guò)386毫克就會(huì)產(chǎn)生副作用．問(wèn)：
（1）該生上午8點(diǎn)第一次服藥，則第2天上午服完藥時(shí)，藥在他體內(nèi)還殘留多少？
（2）若該生長(zhǎng)期服用該藥，會(huì)不會(huì)產(chǎn)生副作用？

Answer 1

分析：（1）由已知中，該藥片每片220毫克，他的腎臟每12小時(shí)從體內(nèi)濾出該藥的60%，我們可設(shè)該生第n次服藥后，藥在他體內(nèi)的殘留量為a_n毫克，由于上午8點(diǎn)第一次服藥，則第2天上午服完藥時(shí)共服了3次藥，依次計(jì)算出a₁，a₂，a₃的值，即可得到第2天上午服完藥時(shí)，藥在他體內(nèi)還殘留量；
（2）由已知可得第n次服藥后，藥在他體內(nèi)的殘留量為a_n滿足：a_n=220+4a_n-1，利用綜合法，可得{a_n-

1100

3

}是一個(gè)以a₁-

1100

3

為首項(xiàng)，0.4為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可以求出a_n的取值范圍，與386比照后，即可得到答案．

解答：解：（1）設(shè)該生第n次服藥后，藥在他體內(nèi)的殘留量為a_n毫克，
則：a₁=220，a₂=220+a₁×（1-60%）=220×1.4=308
a₃=220+a₂×（1-60%）=220+220×1.4×0.4
=343.2  （4分）
故第二天早間，他第三次服空藥后，藥在他體內(nèi)的殘留量為343.2毫克 
（2）由a_n=220+4a_n-1得：a_n-

1100

3

=0.4（a_n-1-

1100

3

）（n≥2）
∴{a_n-

1100

3

}是一個(gè)以a₁-

1100

3

為首項(xiàng)，0.4為公比的等比數(shù)列   
∴a_n-

1100

3

=（a₁-

1100

3

）•（0.4）^n-1＜0
∴a_n＜

1100

3

＜386
即該生長(zhǎng)期服用該藥，不會(huì)產(chǎn)生副作用

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的函數(shù)特征，數(shù)列的應(yīng)用，其中根據(jù)已知條件分析出a_n=220+4a_n-1，是解答本題的關(guān)鍵，現(xiàn)時(shí)利用綜合求證{a_n-

1100

3

}是等比數(shù)列，也是數(shù)列中的難點(diǎn)．