Question

已知f（x）=log₂（2-x）-log₂（2+x）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（3）求不等式f（x）＞1的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，列出關(guān)于自變量x的不等式組，求出f（x）的定義域；
（2）由函數(shù)奇偶性的定義，判定f（x）在定義域上的奇偶性；
（3）化簡(jiǎn)f（x），根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及定義域，求出不等式f（x）＞1的解集．

解答： 解：（1）∵f（x）=log₂（2-x）-log₂（2+x），
∴

2-x＞0 2+x＞0

，解得-2＜x＜2；
∴f（x）的定義域是（-2，2）；
（2）∵f（-x）=log₂（2+x）-log₂（2-x）
=-[log₂（2-x）-log₂（2+x）]
=-f（x），
∴f（x）是定義域（-2，2）上的奇函數(shù)；
（3）∵f（x）=log₂（2-x）-log₂（2+x）
=log₂

2-x

2+x

＞1，
∴

-2＜x＜2 2-x 2+x ＞2

，
解得-2＜x＜-

2

3

；
∴不等式f（x）＞1的解集是（-2，-

2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域以及判定函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的單調(diào)性求不等式的解集問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．