Question

過(guò)點(diǎn)P（1，4）的直線(xiàn)l與兩坐標(biāo)軸正半軸相交，當(dāng)直線(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距之和最小時(shí)，直線(xiàn)l的方程是

2x+y-6=0

．

Answer 1

分析：設(shè)直線(xiàn)方程的截距式：

x

a

+

y

b

=1，由題意得

1

a

+

4

b

=1，由此化簡(jiǎn)直線(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸的截距之和得a+b=（a+b）（

1

a

+

4

b

）=5+

b

a

+

4a

b

，利用基本不等式求出當(dāng)且僅當(dāng)

b

a

=

4a

b

時(shí)截距之和最小，即可算出相應(yīng)的直線(xiàn)l的方程．

解答：解：設(shè)直線(xiàn)l的方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0）
∵P（1，4）在直線(xiàn)l上
∴

1

a

+

4

b

=1，
可得在兩坐標(biāo)軸上的截距之和a+b=（a+b）（

1

a

+

4

b

）=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a • 4a b

=9
當(dāng)且僅當(dāng)

b

a

=

4a

b

時(shí)，即b=2a=6時(shí)，等號(hào)成立
此時(shí)的直線(xiàn)方程為

x

3

+

y

6

=1，化簡(jiǎn)得2x+y-6=0
故答案為：2x+y-6=0

點(diǎn)評(píng)：本題給經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)，求直線(xiàn)在軸上的截距之和最小時(shí)直線(xiàn)的方程．著重考查了直線(xiàn)的方程、直線(xiàn)的基本量和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．