Question

（2009•長寧區(qū)二模）設

a

=(x，x+1)，

b

=(-x，m-2)，函數f(x)=

a

•

b

（其中m為實常數）．
（1）如果函數f（x）為偶函數，試確定函數解析式；
（2）試寫出一個m的值，使函數f（x）在x∈[-2，+∞）上存在反函數，并說明理由．

Answer 1

分析：由題意，先由

a

=(x，x+1)，

b

=(-x，m-2)，函數f(x)=

a

•

b

，得出函數的解析式
（1）由函數是偶函數可得f（-x）=f（x）（或對稱軸x=

m-2

2

=0），解出m的值；
（2）函數有反函數，說明函數在x∈[-2，+∞）上是單調函數，故找出可使函數是單調函數的m的取值范圍，寫出一個即可

解答：解：由條件得f（x）=-x²+（x+1）（m-2）=-x²+（m-2）x+m-2．
（1）因為f（x）為偶函數，所以f（-x）=f（x）（或對稱軸x=

m-2

2

=0），
解得m=2，
因此函數解析式為f（x）=-x²．
（2）（說明：由

m-2

2

≤-2得m≤-2，學生只要在m≤-2內取值，能說明此時x與y一一對應或者為單調函數，都得滿分）如：
取m=-3，
則f（x）=-x²-5x-5在x∈[-2，+∞）上單調，因此存在反函數．

點評：本題考點是平面向量綜合題，考查了數量積的坐標表示，函數偶函數的性質，反函數的定義，解題的關鍵是理解題意，轉化出相應的條件，第一小題關鍵是理解偶函數，第二小題關鍵是理解反函數的定義，得出函數在所給的區(qū)間上是一個單調函數，由此轉化出參數所滿足的條件，本題考查了轉化的思想，方程的思想，考查了推理判斷的能力