Question

（2013•鄭州二模）已知函數(shù)f（x）=lnx與g（x）=kx+b（k，b∈R）的圖象交于P，Q兩點，曲線y=f（x）在P，Q兩點處的切線交于點A．
（Ⅰ）當(dāng)k=e，b=-3時，求f（x）-g（x）的最大值；（e為自然常數(shù)）
（Ⅱ）若A（

e

e-1

，

1

e-1

），求實數(shù)k，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）構(gòu)建新函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最大值；
（Ⅱ）先求出切線方程，代入A的坐標(biāo)，進而求出P，Q的坐標(biāo)，即可求實數(shù)k，b的值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=lnx-ex+3（x＞0），
則h′(x)=

1

x

-e=-

e

x

(x-

1

e

)，----（1分）
當(dāng)0＜x＜

1

e

時，h′（x）＞0，此時函數(shù)h（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x＞

1

e

時，h′（x）＜0，此時函數(shù)h（x）為減函數(shù)．
所以函數(shù)h（x）的增區(qū)間為(0，

1

e

)，減區(qū)間為(

1

e

，+∞)．
∴x=

1

e

時，f（x）-g（x）的最大值為h(

1

e

)=-1-1+3=1；----（4分）
（Ⅱ）設(shè)過點A的直線l與函數(shù)f（x）=lnx切于點（x₀，lnx₀），則其斜率k=

1

x0

，
故切線l：y-lnx0=

1

x0

(x-x0)，
將點A(

e

e-1

，

1

e-1

)代入直線l方程得：

1

e-1

-lnx0=

1

x0

(

e

e-1

-x0)，
即

e-1

e

lnx0+

1

x0

-1=0，----（7分）
設(shè)v(x)=

e-1

e

lnx+

1

x

-1(x＞0)，則v′(x)=

e-1

ex

-

1

x2

=

e-1

ex2

(x-

e

e-1

)，
當(dāng)0＜x＜

e

e-1

時，v′（x）＜0，函數(shù)v（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x＞

e

e-1

時，v′（x）＞0，函數(shù)v（x）為減函數(shù)．
故方程v（x）=0至多有兩個實根，----（10分）
又v（1）=v（e）=0，所以方程v（x）=0的兩個實根為1和e，
故P（1，0），Q（e，1），
所以k=

1

e-1

，b=

1

1-e

為所求．----（12分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)，正確運用導(dǎo)數(shù)知識．