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2.如圖,設(shè)F(-c,0)是橢圓x2a2+y2b2=1ab0的左焦點,點P(-a2c,0)是x軸上的一點,點M,N為橢圓的左、右頂點,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點P作直線l交橢圓于A,B兩點,試判定直線AF,BF的斜率之和kAF+kBF是否為定值,并說明理由.

分析 (1)由2a=8,a2c-a=2(a-c),即可求得c的值,則b2=a2-c2,即可求得橢圓方程;
(2)當(dāng)直線斜率不存在時,kAF=kBF=0,當(dāng)直線l的斜率不為0,代入橢圓方程由韋達定理及直線的斜率公式即可求得kAF+kBF=0為定值,

解答 解:(1)由2a=丨MN丨=8,則a=4,|PM|=2|MF|,則a2c-a=2(a-c),即a2-3ac+2c2=0,
整理得:c2-6c+8=0,解得:c=2或c=4(舍去),
∴b2=a2-c2=12,
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x216+y212=1;
(2)當(dāng)直線l的斜率為0,顯然kAF=kBF=0,則kAF+kBF=0,
當(dāng)直線l的斜率不為0,直線x=my-8,
{x=my8x216+y212=1,整理得:(3m2+4)y2-48my+144=0,
則△=(-48m)2-4×144(3m2+4)=576(m2-4)>0,解得:m>2或m<-2,
設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),則y1+y2=48m3m2+4,y1y2=1443m2+4,
則kAF+kBF=yAxA+2+yBxB+2=yAmyA6+yBmyB6,
=yAmyB6+yBmyA6myA6myB6=2myAyB6yA+yBmyA6myB6,
由2myAyB-6(yA+yB)=2m×1443m2+4-6×48m3m2+4=0,
∴kAF+kBF=0.

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達定理,直線斜率公式,考查計算能力,屬于中檔題.

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