Question

2．如圖，設(shè)F（-c，0）是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦點，點P（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，0）是x軸上的一點，點M，N為橢圓的左、右頂點，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點P作直線l交橢圓于A，B兩點，試判定直線AF，BF的斜率之和k_AF+k_BF是否為定值，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由2a=8，$\frac{{a}^{2}}{c}$-a=2（a-c），即可求得c的值，則b²=a²-c²，即可求得橢圓方程；
（2）當(dāng)直線斜率不存在時，k_AF=k_BF=0，當(dāng)直線l的斜率不為0，代入橢圓方程由韋達定理及直線的斜率公式即可求得k_AF+k_BF=0為定值，

解答 解：（1）由2a=丨MN丨=8，則a=4，|PM|=2|MF|，則$\frac{{a}^{2}}{c}$-a=2（a-c），即a²-3ac+2c²=0，
整理得：c²-6c+8=0，解得：c=2或c=4（舍去），
∴b²=a²-c²=12，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）當(dāng)直線l的斜率為0，顯然k_AF=k_BF=0，則k_AF+k_BF=0，
當(dāng)直線l的斜率不為0，直線x=my-8，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my-8}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3m²+4）y²-48my+144=0，
則△=（-48m）²-4×144（3m²+4）=576（m²-4）＞0，解得：m＞2或m＜-2，
設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），則y₁+y₂=$\frac{48m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{144}{3{m}^{2}+4}$，
則k_AF+k_BF=$\frac{{y}_{A}}{{x}_{A}+2}$+$\frac{{y}_{B}}{{x}_{B}+2}$=$\frac{{y}_{A}}{（m{y}_{A}-6）}$+$\frac{{y}_{B}}{m{y}_{B}-6}$，
=$\frac{{y}_{A}（m{y}_{B}-6）+{y}_{B}（m{y}_{A}-6）}{（m{y}_{A}-6）（m{y}_{B}-6）}$=$\frac{2m{y}_{A}{y}_{B}-6（{y}_{A}+{y}_{B}）}{（m{y}_{A}-6）（m{y}_{B}-6）}$，
由2my_Ay_B-6（y_A+y_B）=2m×$\frac{144}{3{m}^{2}+4}$-6×$\frac{48m}{3{m}^{2}+4}$=0，
∴k_AF+k_BF=0．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，直線斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．