Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F₁（-c，0）（c＞0）作圓x²+y²=

a2

4

的切線，切點(diǎn)為E，直線F₁E交雙曲線右支于點(diǎn)P，若

OE

=

1

2

（

OF1

+

OP

），則雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  9

  4

• B、

  3

  2

• C、

  10

  2

• D、

  5

  2

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先確定E為F₁P的中點(diǎn)，所以O(shè)E為△PF₁F₂的中位線，進(jìn)而得到|PF₂|=a，|F₁F₂|=2c，|PF₁|=2a+a=3a，PF₁切圓O于E，可得PF₂⊥PF₁，由勾股定理得出關(guān)于a，c的關(guān)系式，最后即可求得離心率．

解答： 解：∵

OE

=

1

2

（

OF1

+

OP

），∴E為F₁P的中點(diǎn)，
∵O為F₁F₂的中點(diǎn)，
∴OE為△PF₁F₂的中位線，
∴OE∥PF₂，|OE|=

1

2

|PF₂|，
∵|OE|=

1

2

a
∴|PF₂|=a
∵PF₁切圓O于E
∴OE⊥PF₁
∴PF₂⊥PF₁，
∵|F₁F₂|=2c，|PF₁|-|PF₂|=2a⇒|PF₁|=2a+a=3a，
∴由勾股定理a²+9a²=4c²
∴10a²=4c²，
∴e=

c

a

=

10

2

．
故選：C．

點(diǎn)評：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．