Question

如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，，，分別為的中點.

（Ⅰ）求證:平面平面;

（Ⅱ）求二面角的平面角的大小.

 

 

Answer 1

（Ⅰ）祥見解析；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）欲證平面EFG∥平面PCD，可根據(jù)面面平行的判定定理進行證明，即證明EG∥平面PCD，EF∥平面PCD；

（Ⅱ）取Ｄ為坐標原點DC為x軸,DA為z軸建立空間直角坐標,應(yīng)用空間向量知識來求.也可取PC中點M，連接EM，DM，根據(jù)二面角的平面角的定義證明∠DEM就是二面角D-EF-B的平面角的補角，在△DEM中，即可求出二面角B-EF-D的平面角的大�。�

試題解析：（Ⅰ）因為分別為中點,所以,

又因為是正方形,,所以,所以平面.

因為分別為中點,所以,所以平面.

所以平面平面.

（Ⅱ）法1.易知,又,故平面

分別以為軸和軸,建立空間直角坐標系(如圖)

不妨設(shè)則,

所以

設(shè)是平面的法向量,則

所以取,即

設(shè)是平面的法向量,則

所以取

設(shè)二面角的平面角的大小為

所以,二面角的平面角的大小為.

法2.取中點,聯(lián)結(jié)則,又平面,,所以平面,所以平面,所以,.

因為,則,所以 平面.

又因為,所以

所以就是二面角的平面角的補角.

不妨設(shè),則

,,.

所以二面角的平面角的大小為.

考點：１．平面與平面平行的判定；２．與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．