設(shè)數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比為q，Sn是其前n項和．

（1）證明；

    （2）設(shè)記數(shù)列的前n項和為Tn，試比較q2Sn和Tn的大小.

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 

（1）由題設(shè)知a1>0，q>0．      ………………………………………1分

 (i)當q=1時，Sn=na1，于是 Sn·Sn+2－=na1·(n+2)a1－(n+1)2=－<0， …3分

 (ii)當q≠1時，， 

于是Sn·Sn+2－=．    …………7分

由(i)和(ii)，得Sn·Sn+2－<0．所以Sn·Sn+2<，． ……………8分

(2) 方法一：     …………11分

 Tn=，

Tn－q2Sn=，    …………………………………13分

＝≥2>0，    …………………………………15分

所以Tn>q2S．       …………………………………………………………16分

方法二：Tn=， ………11分

由，      …………………………………………………13分

因為，所以（當且僅當，即時取“=”號），

因為，

所以，即Tn>q2S.        ……………………………16分

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x0稱為函數(shù)f（x）的不動點；若a1∈D，an+1=f（an）（n∈N*），則稱{an} 為由函數(shù)f（x）導(dǎo)出的數(shù)列．
設(shè)函數(shù)g（x）=
4x+2
x+3
，h（x）=
ax+b
cx+d
(c≠0，ad-bc≠0，(d-a)2+4bc＞0)
（1）求函數(shù)g（x）的不動點x1，x2；
（2）設(shè)a1=3，{an} 是由函數(shù)g（x）導(dǎo)出的數(shù)列，對（1）中的兩個不動點x1，x2（不妨設(shè)x1＜x2），數(shù)列求證{
an-x1
an-x2
}是等比數(shù)列，并求
lim
n→∞
an；
（3）試探究由函數(shù)h（x）導(dǎo)出的數(shù)列{bn}，（其中b1=p）為周期數(shù)列的充要條件．
注：已知數(shù)列{bn}，若存在正整數(shù)T，對一切n∈N*都有bn+T=bn，則稱數(shù)列{bn} 為周期數(shù)列，T是它的一個周期．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•鐘祥市模擬）設(shè){an}是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，Sn是其前n項和
（1）若Sn=20，S2n=40，求S3n的值；
（2）若互不相等正整數(shù)p，q，m，使得p+q=2m，證明：不等式SpSq＜Sm2成立；
（3）是否存在常數(shù)k和等差數(shù)列{an}，使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立（n∈N*），若存在，試求出常數(shù)k和數(shù)列{an}的通項公式；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，并且a3=5，a4S2=28．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥a
2n+1
對一切n∈N*均成立的最大實數(shù)a；
（3）對每一個k∈N*，在ak與ak+1之間插入2k-1個2，得到新數(shù)列{bn}，設(shè)Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，試問是否存在正整數(shù)m，使Tm=2008？若存在求出m的值；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•金華模擬）設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比為q，Sn是其前n項和．
（1）若q=2，且S1-2，S2，S3成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求證：對任意正整數(shù)n，Sn，Sn+1，Sn+2不成等比數(shù)列．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x0稱為函數(shù)f（x）的不動點；若a1∈D，an+1=f（an）（n∈N*），則稱{an} 為由函數(shù)f（x）導(dǎo)出的數(shù)列．
設(shè)函數(shù)g（x）=
4x+2
x+3
，h（x）=
ax+b
cx+d
(c≠0，ad-bc≠0，(d-a)2+4bc＞0)
（1）求函數(shù)g（x）的不動點x1，x2；
（2）設(shè)a1=3，{an} 是由函數(shù)g（x）導(dǎo)出的數(shù)列，對（1）中的兩個不動點x1，x2（不妨設(shè)x1＜x2），數(shù)列求證{
an-x1
an-x2
}是等比數(shù)列，并求
lim
n→∞
an；
（3）試探究由函數(shù)h（x）導(dǎo)出的數(shù)列{bn}，（其中b1=p）為周期數(shù)列的充要條件．
注：已知數(shù)列{bn}，若存在正整數(shù)T，對一切n∈N*都有bn+T=bn，則稱數(shù)列{bn} 為周期數(shù)列，T是它的一個周期．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案