設(shè)點A為半徑是1的圓O上一定點，在圓周上等可能地任取一點B．

（1）求弦AB的長超過圓內(nèi)接正三角形邊長的概率；

（2）求弦AB的長超過圓半徑的概率．

 

【答案】

（1）弦AB的長超過圓內(nèi)接正三角形邊長的概率為．（2）弦AB的長超過圓的半徑的概率是．

【解析】(1) 設(shè)“弦AB的長超過圓內(nèi)接正三角形邊長”為事件M，以點A為一頂點，在圓中作一圓內(nèi)接正三角形ACD，則要滿足題意點B只能落在劣弧CD上，又圓內(nèi)接正三角形ACD恰好將圓周3等分,這樣可得出劣弧CD的長占整個圓周長的.

(2) 以圓的半徑OA為邊長作出兩正三角形AOC和AOD，如圖所示，

則AC=AD=圓的半徑OA，所以滿足題意的點B只能落在優(yōu)弧CD上,然后求出對應(yīng)的角,從而可求出優(yōu)弧CD的對應(yīng)的圓心角,進而得到優(yōu)弧CD的長,其概率等于.

解：（1）設(shè)“弦AB的長超過圓內(nèi)接正三角形邊長”為事件M，以點A為一頂點，在圓中作一圓內(nèi)接正三角形ACD，如右圖所示，

則要滿足題意點B只能落在劣弧CD上，又圓內(nèi)接正三角形ACD恰好將圓周3等分，故．  ……6分

答：弦AB的長超過圓內(nèi)接正三角形邊長的概率為．

（2）設(shè)“弦AB的長超過圓的半徑”為事件N，

以圓的半徑OA為邊長作出兩正三角形AOC和AOD，如圖所示，

則AC=AD=圓的半徑OA，所以滿足題意的點B只能落在優(yōu)弧CD上，

又，故劣弧CD的長為，即優(yōu)弧CD的長為

所以．

答：弦AB的長超過圓的半徑的概率是．  ……12分

 

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設(shè)點A為半徑是1的圓O上一定點，在圓周上等可能地任取一點B．
（1）求弦AB的長超過圓內(nèi)接正三角形邊長的概率；
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