用數(shù)學歸納法證明下述整除問題:

求證:11n+2+122n+1(n∈N*)被133整除.

思路分析:數(shù)學歸納法證明有關數(shù)或式的整除問題時,要充分利用整除的性質(zhì),若干個數(shù)(或整式)都能被某一個數(shù)(或整式)整除,則其和、差、積也能被這個數(shù)(或整式)整除.

證明:(Ⅰ)當n=1時,113+123=1 331+1 728=3 059=133×23能被133整除,

∴當n=1時命題正確;

(Ⅱ)假設當n=k時命題正確,即11k+2+122k+1能被133整除,

∴當n=k+1時,

11k+3+122k+3=11×(11k+2+122k+1)+122k+3-11×122k+1

=11×(11k+2+122k+1)+122k+1×(122-11)

=11×(11k+2+122k+1)+122k+1×133.

能被133整除,即當n=k+1時命題也正確.

由(Ⅰ)(Ⅱ)知命題對n∈N*都正確.

方法歸納

(1)證明整除性問題時,常用到以下整除的性質(zhì):

若a|b,且a|c,則a|(b±c);

若a|b,則a|bc,“a|b”表示a能整除b或b能被a整除.

(2)在由n=k時命題成立,證明n=k+1,命題也成立時,要注意設法化去增加的項,通常要用到拆項、結合、添項、減項、分解、化簡等技巧.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源:學習周報 數(shù)學 北師大課標高二版(選修2-2) 2009-2010學年 第29期 總第185期 北師大課標 題型:047

用數(shù)學歸納法證明下述不等式:+…+(n∈N+,且n≥2).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

用數(shù)學歸納法證明1+++…+<n(n∈N+,且n>1)時,第一步即證下述哪個不等式成立(    )

A.1<2                              B.1+<2

C.1++<2                  D.1+<2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2013屆福建省高二下期末理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題

用數(shù)學歸納法證明不等式,且時,第一步應證明下述哪個不等式成立(     )

A.            B.    C.    D. 

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011年浙江省高二下學期期中考試數(shù)學理卷 題型:選擇題

用數(shù)學歸納法證明:,第一步即證下述哪個不等式成立(   )

 A.         B.       C.    D.

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案