函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=1
（1）求f（
1
2
）的值；
（2）數(shù)列{an}滿足：an=f（0）+f（
1
n
)+f(
2
n
)+L+f（
n-1
n
）+f（1），求an；
（3）令bn=
2
2an-1
，Tn=b12+b22+L+bn2，Sn=8-
4
n
，試比較Tn與Sn的大小、
分析：（1）用賦值法求函數(shù)值．（2）需觀察出an中距首尾對稱項和相等，即可用倒序相加求數(shù)列和．（3）先把bn化簡，再用放縮法求和、證明不等式．
解答：解：（1）令x=
1
2
，
則有f(
1
2
)+f(1-
1
2
)=f(
1
2
)+f(
1
2
)=1．∴f(
1
2
)=
1
2
．
（2）令x=
1
n
，得f(
1
n
)+f(1-
1
n
)=1．即f(
1
n
)+f(
n-1
n
)=1．
因為an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)++f(
n-1
n
)+f(1)，
所以an=f(1)+f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)++f(
1
n
)+f(0)．
兩式相加得：2an=[f(0)+f(1)]+[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]++[f(1)+f(0)]=n+1，∴an=
n+1
2
，n∈N*．
（3）bn=
2
2an-1
=
2
n
，n=1時，Tn=Sn；n≥2時，∴Tn=b12+b22++bn2=4(1+
1
22
+
1
32
++
1
n2
)≤4[1+
1
1×2
+
1
2×3
++
1
n(n-1)
]
=4[1+(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)++(
1
n-1
-
1
n
)]
=4(2-
1
n
)=8-
4
n
=Sn
∴Tn≤Sn．
點評：此題考查了數(shù)列與函數(shù)，不等式的綜合應(yīng)用，做題時仔細(xì)審題，找出規(guī)律，認(rèn)真解答
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x≠0時，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）試問：在-2≤x≤2時，f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果沒有，說明理由．
（3）解關(guān)于x的不等式
1
2
f(bx)-f(x)＞
1
2
f(b2x)-f(b)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
+a，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判斷f（x）單調(diào)性并證明；
（2）若m滿足f（3m）＞f（5-2m），試確定m的取值范圍．
（3）若函數(shù)g（x）=xf（x）對任意x∈[2，5]時，g（x）+2x+
3
2
＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c
（1）若f（-1）=0，試判斷函數(shù)f（x）零點個數(shù)；
（2）若對任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2）（a＞0），試證明：
1
2
[f（x1）+f（x2）]＞f（
x1+x2
2
）成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件：
①對任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
②對任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤
1
2
(x-1)2？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）對任意x，y∈（0，+∞），都有f（x•y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞1時f（x）＜0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若f（2）=-1，解不等式f（x-2）+f（x）＞-3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x≠0時，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）試問：在-n≤x≤n時（n∈N*），f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果沒有，說明理由．
（3）解關(guān)于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)≥
1
2
f(b2x)-f(b)，(b＞0)．

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