Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-x，x＜0\\|{lnx}|，x＞0\end{array}\right.$，則關(guān)于x的方程[f（x）]²-f（x）+a=0（a∈R）的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)不可能是（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，做出f（x）的草圖，得出f（x）=t的根的情況，根據(jù)方程t²-t+a=0不可能有兩個(gè)負(fù)根得出結(jié)論．

解答 解：當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-1＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=|lnx|=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx，0＜x＜1}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，
做出f（x）的大致函數(shù)圖象如圖所示：

設(shè)f（x）=t，則當(dāng)t＜0時(shí)，方程f（x）=t有一解，
當(dāng)t=0時(shí)，方程f（x）=t有兩解，
當(dāng)t＞0時(shí)，方程f（x）=t有三解．
由[f（x）]²-f（x）+a=0，得t²-t+a=0，
若方程t²-t+a=0有兩解t₁，t₂，則t₁+t₂=1，
∴方程t²-t+a=0不可能有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，
∴方程[f（x）]²-f（x）+a=0不可能有2個(gè)解．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷，根的存在性判斷，一元二次方程的根的個(gè)數(shù)判斷，屬于中檔題．