在三棱錐S―ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)．

（1）證明：AC⊥SB；

（2）求二面角N―CM―B的余弦值；

（3）求B點(diǎn)到平面CMN的距離．

解：（1）取AC中點(diǎn)D，連結(jié)SD，BD．

（2）取BD中點(diǎn)E，連結(jié)NE，則NE//SD．

故由．

在平面ABC內(nèi)作EF⊥CM于F，連結(jié)NF，則由三垂線定理知CM⊥NF，

的平面角．

設(shè)

．

又由

，

．

即二面角．

（3）設(shè)B點(diǎn)到平面CMN的距離為，由

．

另解：（1）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OS、OB，SA=SC，AB=BC，且.

   平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABC=AC．

SO平面ABC， SOBO．

以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OB、OS為x軸、y軸、z軸的正向，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），B（0，，0）S（0，0，），M（1，，0），N（0，，）．

=（-4，0，0），=（0，，）．

=（-4，0，0）（0，，）=0，

．

 (2)由（1）得設(shè)為平面CMN的一個(gè)法向量，則　  取z=1,x=．

∴　．

又為平面ABC的一個(gè)法向量，

 ，   ∴二面角N-CM-B的大小為arccos．

(3)由（1）（2）得 ，為平面CMN的一個(gè)法向量

∴點(diǎn)B到平面CMN的距離。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為邊長為1的等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）證明：SA⊥BC；
（Ⅲ）求三棱錐S-ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB⊥底面ABC，且∠ASB=∠ABC=90°，AS=SB=2，AC=2
3
．

（Ⅰ）求證SA⊥SC；
（Ⅱ）在平面幾何中，推導(dǎo)三角形內(nèi)切圓的半徑公式r=
2S
l
（其中l(wèi)是三角形的周長，S是三角形的面積），常用如下方法（如右圖）：
①以內(nèi)切圓的圓心O為頂點(diǎn)，將三角形ABC分割成三個(gè)小三角形：△OAB，△OAC，△OB精英家教網(wǎng)C．
②設(shè)△ABC三邊長分別為a，b，c．由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，
得S=
1
2
ar+
1
2
br+
1
2
cr=
1
2
lr，則r=
2S
l
．
類比上述方法，請給出四面體內(nèi)切球半徑的計(jì)算公式（不要求說明類比過程），并利用該公式求出三棱錐S-ABC內(nèi)切球的半徑．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐S-ABC中，SA=AB=BC=AC=
2
SB=
2
SC，O為BC中點(diǎn)．
（1）求證：SO⊥平面ABC
（2）在線段AB上是否存在一點(diǎn)E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值為
15
5
？若存在，確定E點(diǎn)位置；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SC⊥平面SAB，SA⊥BC，側(cè)面△SAB，△SBC，△SAC的面積分別為1，
3
2
，3，則此三棱錐的外接球的表面積為（　�。�

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