Question

已知函數f（x）=log₂（3+2x-x²）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）求證f（x）在x∈（1，3）上是減函數；
（3）求函數f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）由3+2x-x²＞0得-1＜x＜3，函數f（x）的定義域是{x|-1＜x＜3}
（2）設1＜x₁＜x₂＜3，則3+2x₂-x₂²-（3+2x₁-x₁²）=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2），
∵1＜x₁＜x₂0
∴3+2x₂-x₂²-（3+2x₁-x₁²）＜0，∴3+2x₂-x₂²＜3+2x₁-x₁²，
∴l(xiāng)og₂（3+2x₂-x₂²）＜log₂（3+2x₁-x₁²）．
∴f（x）在x∈（1，3）上是減函數．
（3）當-1＜x＜3時，有0＜3+2x-x²≤4．
f（1）=log₂4=2，所以函數f（x）的值域是（-∞，2]．
分析：（1）直接利用真數大于0解不等式即可求函數f（x）的定義域；
（2）先利用定義推出真數在x∈（1，3）上是減函數，再利用復合函數的單調性證明即可；
（3）先利用二次函數在固定區(qū)間上求值域的方法求出真數的取值范圍，再代入整個函數，利用以2為底的指數函數在定義域內單調遞增即可解題．
點評：本題是對函數定義域哈值域以及函數單調性的證明的綜合考查．在證明一個函數的單調性時，一定要按取點，作差或作商，變形，判斷．的過程一步一步的向下進行．