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8.已知雙曲線C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的兩個焦點為F1(-2,0)、F2(2,0)點P(3,1)在雙曲線C上.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)記O為坐標原點,過點Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,若△OEF的面積為22,求直線l的方程.

分析 (1)根據(jù)題意可得a2+b2=4,得到a和b的關系,把點P(3,1)代入雙曲線方程,求得a,進而根據(jù)a2+b2=4求得b,雙曲線方程可得;
(2)可設直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理,根據(jù)直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,進而可得k的范圍,設E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),根據(jù)韋達定理可求得x1+x2和x1x2,進而表示出|EF|和原點O到直線l的距離根據(jù)三角形OEF的面積求得k,進而可得直線方程.

解答 解:(1)依題意,由c2=a2+b2=4,
得雙曲線方程為x2a2-y24a2=1(0<a2<4),
將點(3,1)代入上式,得3a2-14a2=1.
解得a2=2或a2=6(舍去),
故所求雙曲線方程為x22-y22=1;
(2):依題意,可設直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理,
得(1-k2)x2-4kx-6=0.
∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,
{1k20△=4k2+4×61k20?{k±13k3∴k∈(-3,-1)∪(1,3).
設E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),則由①式得x1+x2=4k1k2,x1x2=-61k2,
于是,|EF|=x1x22+y1y22
=1+k2x1+x224x1x2=1+k24k1k22+241k2,
而原點O到直線l的距離d=21+k2
∴S△OEF=12d•|EF|=1221+k21+k24k1k22+241k2=223k2|1k2|,
若S△OEF=223k2|1k2|=22?k4-k2-2=0,
解得k=±2,滿足判別式大于0.
故滿足條件的直線l有兩條,其方程分別為y=2x+2和y=-2x+2.

點評 本題主要考查了雙曲線的方程和雙曲線與直線的關系.考查了學生綜合運算能力.

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