分析 (1)根據(jù)題意可得a2+b2=4,得到a和b的關系,把點P(√3,1)代入雙曲線方程,求得a,進而根據(jù)a2+b2=4求得b,雙曲線方程可得;
(2)可設直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理,根據(jù)直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,進而可得k的范圍,設E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),根據(jù)韋達定理可求得x1+x2和x1x2,進而表示出|EF|和原點O到直線l的距離根據(jù)三角形OEF的面積求得k,進而可得直線方程.
解答 解:(1)依題意,由c2=a2+b2=4,
得雙曲線方程為x2a2-y24−a2=1(0<a2<4),
將點(√3,1)代入上式,得3a2-14−a2=1.
解得a2=2或a2=6(舍去),
故所求雙曲線方程為x22-y22=1;
(2):依題意,可設直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理,
得(1-k2)x2-4kx-6=0.
∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,
∴{1−k2≠0△=(−4k)2+4×6(1−k2)>0?{k≠±1−√3<k<√3∴k∈(-√3,-1)∪(1,√3).
設E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),則由①式得x1+x2=4k1−k2,x1x2=-61−k2,
于是,|EF|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2
=√1+k2•√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2•√(4k1−k2)2+241−k2,
而原點O到直線l的距離d=2√1+k2,
∴S△OEF=12d•|EF|=12•2√1+k2•√1+k2•√(4k1−k2)2+241−k2=2√2•√3−k2|1−k2|,
若S△OEF=2√2•√3−k2|1−k2|=2√2?k4-k2-2=0,
解得k=±√2,滿足判別式大于0.
故滿足條件的直線l有兩條,其方程分別為y=√2x+2和y=-√2x+2.
點評 本題主要考查了雙曲線的方程和雙曲線與直線的關系.考查了學生綜合運算能力.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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A. | ①② | B. | ②③ | C. | ①③ | D. | ①②③ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 銳角三角形 | B. | 直角三角形 | C. | 鈍角三角形 | D. | 不確定 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 12 | B. | 18 | C. | 20 | D. | 16 |
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