Question

【題目】已知函數(shù) 的定義域為 ，若對于任意的 ， ，都有 ，且當(dāng) 時，有 ．

（1）證明： 為奇函數(shù)；

（2）判斷 在 上的單調(diào)性，并證明；

（3）設(shè) ，若 （ 且 ）對 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2） 在 上為單調(diào)遞增函數(shù)；（3）

【解析】試題分析：（1）令x=y=0可得f（0）=0，令y=-x及奇函數(shù)的定義即得證；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）在[-2，2]上的單調(diào)性，并證明；
（3）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將不等式恒成立進行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

試題解析：

（1） 令 ，

所以 ，

令 ，

所以 ，

所以 ，故 為奇函數(shù)

（2） 在 上為單調(diào)遞增函數(shù)．

任取 ，

所以 ，

所以 ，

因為 是定義在 上的奇函數(shù)，

所以 ，

所以 ，

所以 在 上為單調(diào)遞增函數(shù)

（3） 因為 在 上為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以 ，

因為 對 恒成立，

所以 ，

當(dāng) 時，

所以 ；

當(dāng) 時，

所以 ．