分析 (1)遞推式兩邊同除an,得出關(guān)于$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$的方程,求出$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,得出結(jié)論;
(2)化簡整理可得bn=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n+1}}$,求出Sn,Tn即可得出結(jié)論.
解答 證明:(1)當(dāng)λ=an+1時(shí),an+1=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{a}_{n+1}}$+an,an>0,
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$+1,
令$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=q>0,則q=$\frac{1}{q}$+1,化為q2-q-1=0,解得q=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其公比q=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
(2)當(dāng)λ=2時(shí),an+1=$\frac{{a}_{n}^{2}}{2}$+an,∴2an+1=an(an+2),
∴${b_n}=\frac{1}{{{a_n}+2}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n+1}}$.
∴Tn=b1b2b3…bn=$\frac{{a}_{1}}{2{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{2}}{2{a}_{3}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{1}}{{2}^{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}}•$$\frac{1}{{a}_{n+1}}$.
又bn=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n+1}}$=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2({a}_{n+1}-{a}_{n})}{2{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$,
∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$,
∴2n+1Tn+Sn=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=2.
∴對(duì)任意正整數(shù)n,2n+1Tn+Sn為定值2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的判斷,求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | 380 | B. | 390 | C. | 400 | D. | 410 |
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A. | $\frac{π}{2}$+$\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{π}{2}$+2 | C. | $\frac{π}{2}$+$\frac{3}{2}$ | D. | $\frac{π}{2}$+$\frac{10}{3}$ |
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A. | p是q的充分而不必要條件 | B. | p是q的必要而不充分條件 | ||
C. | p是q的充要條件 | D. | p是q的既不充分也不必要條件 |
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