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【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，已知，頂點P在平面ABC上的射影為的外接圓圓心.

（1）證明：平面平面ABC；

（2）若點M在棱PA上，，且二面角P-BC-M的余弦值為，試求的值.

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）設的中點為，連接，易知點為的外接圓圓心，從而平面，即可證明平面平面ABC；

（2）以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系， 求出平面與平面的法向量，代入公式即可建立的方程，解之即可.

（1）證明：如圖，設的中點為，連接，

由題意，得，則為直角三角形，

點為的外接圓圓心．

又點在平面上的射影為的外接圓圓心，

所以平面，

又平面，所以平面平面．

（2）解：由（1）可知平面，

所以，，，

于是以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，

設，

，，

設平面的法向量為，

則得

令，得，，

即．

設平面的法向量為，

由得

令，得，，即

解得即M為PA的中點．

練習冊系列答案
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（1）證明：；

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體檢次序

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次及以上

收費比例

1

0.95

0.90

0.85

0.8

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體檢次數

一次

兩次

三次

四次

五次及以上

頻數

60

20

12

4

4

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