Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為CC₁中點．
求證：（1）截面A₁BD⊥截面A₁ACC₁；
（2）截面A₁BD⊥截面BDE．

Answer 1

分析：（1）連接AC，交BD于O，則在平行四邊形ABCD中，證明AC⊥BD，AA₁⊥BD，推出BD⊥截面A₁ACC₁，根據面面垂直定理可得：
截面A₁BD⊥截面A₁ACC₁；
（2）連接OE和OA₁，說明∠A₁OE是截面A₁BD和截面BDE的平面角．推出△A₁OE是直角三角形，∠A₁OE是直角．即可證明截面A₁BD⊥截面BDE．

解答：證明：（1）連接AC，交BD于O，則在平行四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD
∵AA₁⊥面ABCD，且BD?面ABCD
∴AA₁⊥BD
又∵AA₁∩AC=A
∴BD⊥截面A₁ACC₁，根據面面垂直定理可得：
面A₁BD⊥截面A₁ACC₁…（6分）
（2）連接OE和OA₁，則容易得∠A₁OE是截面A₁BD和截面BDE的平面角．
設正方體的邊長為a，則在△A₁OE中，
|A1E|2=|A1O|2+|OE|2；
|A₁O|=

(A1B)2-(OB)2

=

2a2- 1 2 a2

=

6

2

a，
|OE|=

(OC)2+(CE)2

=

1 2 a2+ 1 4 a2

=

3

2

a
|A₁E|=

(A1C1)2+(C1E)2

=

2a2+ 1 4 a2

=

3

2

a，
因此容易得到：
|A1E|2=|A1E|2+|OE|2
即△A₁OE是直角三角形，∠A₁OE是直角．
因此，截面A₁BD⊥截面BDE…（12分）

點評：本題是中檔題，考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的應用，直線與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力．