【題目】已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,直線:y=kx+b(k≠0)交拋物線C于A、B兩點,|AF|+|BF|=4,M(0,3).
(1)若AB的中點為T,直線MT的斜率為,證明:k· 為定值;
(2)求△ABM面積的最大值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)聯(lián)立求出AB的中點坐標為T(2k,1),再計算得k·=-1.(2)先求出點M到直線l距離,再求出,再求出 ,最后構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求面積的最大值得解.
(1)證明:聯(lián)立,消去y得,x2-4kx-4b=0,
△=16k2+16b>0,即k2+b>0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由韋達定理得x1+x2=4k,x1x2=-4b,
因為|AF|+|BF|=4,
由拋物線定義得y1+1+y2+1=4,得y1+y2=2,
所以AB的中點坐標為T(2k,1),
所以,所以k·=-1.
(2)由(1)得|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=16(k2+b),
,
設(shè)點M到直線l距離為d,則,
而由(1)知,y1+y2=kx1+b+kx2+b=k(x1+x2)+2b=4k2+2b=2,
即2k2+b=1,即b=1-2k2,由△=16k2+16b>0,得0<k2<1,
所以 ,
令t=k2,0<t<1,設(shè)f(t)=(1+t)2(1-t)=1+t-t2-t3,0<t<1,
=1-2t-3t2=(t+1)(-3t+1),時,>0,f(t)為增函數(shù);
時,<0,f(t)為減函數(shù);
所以當,,
所以,S△ABM的最大值為.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為 為參數(shù)),過點且傾斜角為的直線與曲線交于兩點.
(1)求的取值范圍;
(2)求中點的軌跡的參數(shù)方程.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),在以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,點的極坐標為,直線的極坐標方程為.
(1)求直線的直角坐標方程與曲線的普通方程;
(2)若是曲線上的動點,為線段的中點,求點到直線的距離的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2x-1,(a∈R),若對任意x1∈[1,+∞),總存在x2∈R,使f(x1)=g(x2),則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】已知復(fù)數(shù)集合 ,其中為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)所形成圖形的面積為________
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【題目】經(jīng)濟訂貨批量模型,是目前大多數(shù)工廠、企業(yè)等最常采用的訂貨方式,即某種物資在單位時間的需求量為某常數(shù),經(jīng)過某段時間后,存儲量消耗下降到零,此時開始訂貨并隨即到貨,然后開始下一個存儲周期,該模型適用于整批間隔進貨、不允許缺貨的存儲問題,具體如下:年存儲成本費(元)關(guān)于每次訂貨(單位)的函數(shù)關(guān)系,其中為年需求量,為每單位物資的年存儲費,為每次訂貨費. 某化工廠需用甲醇作為原料,年需求量為6000噸,每噸存儲費為120元/年,每次訂貨費為2500元.
(1)若該化工廠每次訂購300噸甲醇,求年存儲成本費;
(2)每次需訂購多少噸甲醇,可使該化工廠年存儲成本費最少?最少費用為多少?
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【題目】《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓,下圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每卦有三根線組成(“”表示一根陽線,“”表示一根陰線),從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的概率__________.
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