Question

18．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC，∠ABC=60°，N是BC的中點，將ABCD繞AB旋轉90°，得到梯形ABC′D′．
（1）求證C′N∥平面ADD′；
（2）求二面角A-C′N-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出BC∥平面ADD'，BC'∥平面ADD'，從而平面BCC'∥平面ADD'，由此能證明NC'∥平面ADD'．
（2）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AC′為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-C'N-C的余弦值．

解答 證明：（1）∵BC∥AD，∴BC∥平面ADD'，
同理BC'∥平面ADD'，
又BC∩BC'=B，∴平面BCC'∥平面ADD'，
∵NC'?平面BCC'，∴NC'∥平面ADD'．…（6分）
解：（2）在等腰梯形ABCD中，
AD∥BC，$AD=\frac{1}{2}BC$，∠ABC=60°，N是BC的中點，得AC⊥AB
又平面ABCD⊥平面ABC'D'，
且AC'⊥AB，AC'⊥平面ABCD
∴AC'⊥AC，AC'⊥AB，AC⊥AB，…．（8分）
如圖，以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AC′為z軸，建立空間直角坐標系，
設AB=1，則A（0，0，0），B（1，0，0）．$C（0，\sqrt{3}，0）$，$C'（0，0，\sqrt{3}）$，$N（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0）$，
$\overrightarrow{BC'}=（-1，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{CC'}=（0，-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$，
設平面C'NC的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BC'}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{CC'}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-x+\sqrt{3}z=0\\-\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$，取z=1，$x=\sqrt{3}$，y=1，所以$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，1，1）$，…（10分）
因為AC'⊥平面ABC，平面C'AN⊥平面ABC，
又由題意知四邊形ABND是菱形，所以BD⊥AN，
平面C'AN∩平面ABC=AN，BD⊥平面C'AN，
設BD∩AN=O，則交點O為AN的中點，
所以平面C'AN的法向量為$\overrightarrow{OB}=（\frac{3}{4}，-\frac{{\sqrt{3}}}{4}，0）$，…（12分）
所以$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{OB}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{OB}}}{{|\overrightarrow{n|}•|\overrightarrow{OB}|}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
由圖知二面角A-C'N-C為鈍角，所以二面角A-C'N-C的余弦值為$-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．…（15分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．