Question

8．已知矩陣M=$[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&{-1}\end{array}}]$．
（1）求矩陣M的特征值和特征向量；
 （2）設(shè)$\vec β$=$[{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}]$，求M⁹⁹$\overrightarrow{β}$．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．
（2）依據(jù)題意知，$M=[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&{-1}\end{array}}]$為反射變換矩陣，所以M⁹⁹=M，則易求M⁹⁹$\overrightarrow{β}$．

解答 解：（1）$f（λ）=|{\begin{array}{l}{λ-1}&0\\ 0&{λ+1}\end{array}}|=（{λ-1}）（{λ+1}）=0$，
∴λ₁=1或λ₂=-1．
當(dāng)λ₁=1時，由$\left\{\begin{array}{l}0•x+0•y=0\\ 0•x+2y=0\end{array}\right.$，取$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}\right.$，即$\underset{\overline{ω}}{{a}_{1}}$=$|\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}|$．
當(dāng)λ₂=-1時，由$\left\{\begin{array}{l}-2•x+0•y=0\\ 0•x+0•y=0\end{array}\right.$，取$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=1\end{array}\right.$，即$\underset{\overline{ω}}{{a}_{2}}$=$|\begin{array}{l}{0}\\{1}\end{array}|$．
（2）因為$M=[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&{-1}\end{array}}]$為反射變換矩陣，所以M⁹⁹=M
所以M⁹⁹=M，
所以M⁹⁹$\overrightarrow{β}$=M$\overrightarrow{β}$=$|\begin{array}{l}{2}\\{-3}\end{array}|$．

點評 本題主要考查來了矩陣特征值與特征向量的計算等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題．