Question

12．已知|x+2|+|6-x|≥k恒成立
（1）求實數(shù)k的最大值；
（2）若實數(shù)k的最大值為n，正數(shù)a，b滿足$\frac{8}{5a+b}+\frac{2}{2a+3b}=n$，求7a+4b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由|x+2|+|6-x|≥m恒成立，設(shè)函數(shù)g（x）=||x+2|+|6-x||，利用絕對值不等式的性質(zhì)求出其最小值即可；
（2）由（1）知n=8，變形，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出

解答 解：（1）|x+2|+|6-x|≥k恒成立；
設(shè)g（x）=|x+2|+|6-x|，則g（x）_min≥k．
又|x+2|+|6-x|≥|（x+2）+（6-x）|=8，
當且僅當-2≤x≤6時，g（x）_min=8
所以k≤8．
即實數(shù)k的最大值為8，
（2）由（1）可知，n=8，
∴$\frac{8}{5a+b}+\frac{2}{2a+3b}=8$，
即$\frac{4}{5a+b}+\frac{1}{2a+3b}=4$，有由于a，b均為正數(shù)，
所以7a+4b=$\frac{1}{4}$ （7a+4b）•（ $\frac{4}{5a+b}+\frac{1}{2a+3b}$）
=$\frac{1}{4}$[（5a+b）+（2a+3b）]•（ $\frac{4}{5a+b}+\frac{1}{2a+3b}$）
=$\frac{1}{4}$[5+$\frac{4（2a+3b）}{5a+b}+\frac{5a+b}{2a+3b}$]≥$\frac{1}{4}$（5+4）=$\frac{9}{4}$，
所以4a+3b的最小值是$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了函數(shù)的定義域、絕對值不等式的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、“乘1法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．