Question

10．已知直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{2}ρ$cos（$θ+\frac{π}{4}$）=-1，曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y={t}^{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)M（$\frac{1}{2}$$-\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$），直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線l與曲線C的普通方程；
（Ⅱ）求|MA|²•|MB|²的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因?yàn)?\sqrt{2}ρcos（θ+\frac{π}{4}）=-1$，所以ρcosθ-ρsinθ+1=0，即可求出直線l的普通方程，再由$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y={t^2}\end{array}\right.$消去t得y=x²，由此能求出曲線C普通方程．
（Ⅱ）聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}x-y+1=0\\ y={x^2}\end{array}\right.$，能求出A，B的坐標(biāo)，即可求|MA|²•|MB|²的值．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)?\sqrt{2}ρcos（θ+\frac{π}{4}）=-1$，所以ρcosθ-ρsinθ+1=0，
所以直線l的普通方程為x-y+1，
因?yàn)?\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y={t^2}\end{array}\right.$消去t得y=x²，曲線C的普通方程為y=x²．（4分）
（Ⅱ）顯然直線l：x-y+1=0，聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}x-y+1=0\\ y={x^2}\end{array}\right.$，
消去y得x²-x-1=0，所以${x_1}=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，${x_2}=\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
不妨設(shè)$A（\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\frac{3}{2}-\frac{{\sqrt{5}}}{2}）$，$B（\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\frac{3}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{2}）$，
因?yàn)镸（$\frac{1}{2}$$-\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$），
所以|MA|²=1，$|MB{|^2}=11+2\sqrt{5}$，
所以$|MA{|^2}•|MB{|^2}=11+2\sqrt{5}$．（10分）

點(diǎn)評 本題考查直線l的極坐標(biāo)方程與曲線C普通方程的求法|，考查求|MA|²•|MB|²的值，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式的合理運(yùn)用．