Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求證：；

（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）證法一：令，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值為（其中為函數(shù)的極小值點），然后利用基本不等式即可得出證明；

證法二：先證明成立，再證明出不等式，利用不等式的基本性質(zhì)可得出；

（2）令，得出，等式兩邊取對數(shù)得，構造函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，對函數(shù)最小值的符號進行分類討論，由此可得出函數(shù)的零點個數(shù).

（1）證法一：令，，

，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

，，，

存在，使，則，可得，

由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；

當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.

所以，故原不等式成立；

證法二：先證明不等式，構造函數(shù)，其中，

則對任意的恒成立，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，.

同理可證，，則，

即；

（2）令，得，兩邊取對數(shù)得，

令，則，令得.

當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；

當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.

.

①當時，即得時，，函數(shù)無零點；

②當時，即得時，，函數(shù)有個零點；

③當時，即得時，

當時，；當時，.

此時，函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上各有個零點.

則函數(shù)有個零點.

綜上所述，當時，函數(shù)無零點；當時，函數(shù)有個零點；當時，函數(shù)有個零點.