已知函數(shù)．

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）設，如果過點可作曲線的三條切線，證明：

 

【答案】

（1）（2）設切線，方程有三個相異的實數(shù)根．函數(shù)與x軸有三個交點，得

，滿足極大值，極小值得

【解析】

試題分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)；．(1分) 曲線在點處的切線方程為：   ，    （2分）

即 ．           （4分）

（2）如果有一條切線過點，則存在，使．    （5分）

于是，若過點可作曲線的三條切線，則方程  有三個相異的實數(shù)根．（6分）  記   ，則  ．      （（7分）

當變化時，變化情況如下表：

0

0

0

極大值

極小值

（表10分）（畫草圖11分）由的單調(diào)性，當極大值或極小值時，方程最多有一個實數(shù)根；

當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根；

當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根．

綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數(shù)根，則 （13分）   即   ．    （14分）

考點：函數(shù)導數(shù)的幾何意義及導數(shù)求最值

點評：幾何意義：函數(shù)在某一點處的導數(shù)值等于該點處的切線斜率，第一問利用幾何意義求得斜率；第二問有三條切線即有三個切點，轉(zhuǎn)化為方程有三個不同的根，利用函數(shù)與方程的關系轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與x軸有三個交點，即可通過極值判定，本題難度較大

 

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已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的定義域 ；

（2）若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)的值．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年人教版高一（上）期中數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）證明函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x，使得成立，若存在求出x；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆浙江省高二下期中數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)令

（1）求的定義域；

（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并予以證明；

（3）若，猜想之間的關系并證明.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年北京市高三入學測試數(shù)學卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知函數(shù) ，

  （1）求函數(shù)的定義域；（2）證明：是偶函數(shù)；

  （3）若，求的取值范圍。

 

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