在數(shù)列中，，其中。

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）求數(shù)列的前項和；

（3）證明：存在，使得對任意均成立。

解法一：（1）

由此可猜想出數(shù)列的通項公式為

以下用數(shù)學歸納法證明：

①當時，，等式成立．

②假設當時等式成立，即

 那么

這就是說，當時等式也成立。

根據(jù)①和②可知，等式對任何都成立。

解法二：由

，可得

所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項

為0，故，所以數(shù)列的通項

公式為。

（2）設  ①

   ②

當時，①式減去②式，得

 這時數(shù)列的前n項和為

當時，。這時數(shù)列的前項和

。

（3）通過分析，推測數(shù)列的第一項最大，

下面證明：  ③

由知，

要使③式成立，只要，

因為

所以③式成立。

因此，存在，使得對任意均成立。

練習冊系列答案
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在數(shù)列中，，其中．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項和；
（Ⅲ）證明存在，使得對任意均成立．

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在數(shù)列中，（其中為數(shù)列的前n項和).

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在數(shù)列中，，其中．

(Ⅰ)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

(Ⅱ)求證：

 

 

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