Question

（2012•湘潭模擬）過點(diǎn)P₀（1，0）作曲線C：y=x³（x∈（0，+∞））的切線，切點(diǎn)為Q₁，過Q₁作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)P₁，又過P₁作曲線C的切線，切點(diǎn)為Q₂，過Q₂作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)P₂，…，依次下去得到一系列點(diǎn)Q₁，Q₂，Q₃，…，設(shè)點(diǎn)Q_n的橫坐標(biāo)為a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）①求和S=

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

；
②求證：an＞1+

n

2

(n≥2，n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，若切點(diǎn)是Qn(an，

a

3 n

)，則切線方程為y-

a

3 n

=3

a

2 n

(x-an)，根據(jù)當(dāng)n=1時，切線過點(diǎn)P₀（1，0），即0-

a

3 1

=3

a

2 1

(1-a1)，從而可得a1=

3

2

，當(dāng)n＞1時，切線過點(diǎn)P_n-1（a_n-1，0），即0-

a

3 n

=3

a

2 n

(an-1-an)，從而可得an=

3

2

an-1(n＞1)，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

3

2

，公比為

3

2

的等比數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）①根據(jù)Sn=

1

a1

+

2

a2

+…+

n-1

an-1

+

n

an

，利用錯誤相減法即可求S；
②證法1：利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行證明；證法2：用數(shù)學(xué)歸納法

解答：（1）解：∵y=x³，∴y'=3x²，
若切點(diǎn)是Qn(an，

a

3 n

)，則切線方程為y-

a

3 n

=3

a

2 n

(x-an)，…（1分）
當(dāng)n=1時，切線過點(diǎn)P₀（1，0），即0-

a

3 1

=3

a

2 1

(1-a1)，因?yàn)閍₁＞0，所以a1=

3

2

，…（2分）
當(dāng)n＞1時，切線過點(diǎn)P_n-1（a_n-1，0），即0-

a

3 n

=3

a

2 n

(an-1-an)，
依題意a_n＞0，所以an=

3

2

an-1(n＞1)，
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

3

2

，公比為

3

2

的等比數(shù)列，所以an=(

3

2

)n；  …（4分）
（2）①解：記Sn=

1

a1

+

2

a2

+…+

n-1

an-1

+

n

an

，因?yàn)?span id="dec7467" class="MathJye">

1

an

=

2

3

•

1

an-1

，
所以

2

3

Sn=

1

a2

+

2

a3

+…+

n-1

an

+

n

an+1

，…（5分）
兩式相減，得

1

3

Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

-

n

an+1

=

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-n(

2

3

)n+1=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-n(

2

3

)n+1=2[1-(

2

3

)n]-n(

2

3

)n+1，…（7分）
∴Sn=

n

i=1

i

ai

=6[1-(

2

3

)n]-3n(

2

3

)n+1=6-2(n+3)(

2

3

)n；     …（9分）
②證法1：an=(1+

1

2

)n=

C

0 n

+

C

1 n

•

1

2

+

C

2 n

(

1

2

)2+…+

C

n n

(

1

2

)n＞

C

0 n

+

C

1 n

(

1

2

)=1+

n

2

(n≥2)．                             …（13分）
證法2：當(dāng)n=2時，a2=(

3

2

)2=

9

4

=1+

5

4

＞1+

2

2

，…（10分）
假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即ak＞1+

k

2

，
則ak+1=

3

2

ak＞

3

2

(1+

k

2

)=1+

1

2

+

3

2

•

k

2

＞1+

1

2

+

k

2

=1+

k+1

2

，
即n=k+1時，ak+1＞1+

k+1

2

，…（12分）
綜上，an＞1+

n

2

對n≥2，n∈N^*都成立．                   …（13分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查數(shù)列的求和與不等式的證明，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)利用錯位相減法．