Question

求使不等式|x-4|+|x-3|＜a有解的a的取值范圍.

Answer 1

解法一:將數(shù)軸分為(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三個(gè)區(qū)間.

當(dāng)x＜3時(shí),得(4-x)+(3-x)＜a,x＞有解條件為＜3,即a＞1;

當(dāng)3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)＜a,即a＞1;

當(dāng)x＞4時(shí),得(x-4)+(x-3)＜a,則x＜

有解條件為＞4.∴a＞1.

以上三種情況中任何一個(gè)均可滿足題目要求,故是它們的并集,即仍為a＞1.

解法二:設(shè)數(shù)x、3、4在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P、A、B,由絕對(duì)值的幾何意義,原不等式即求|PA|+|PB|＜a成立.因?yàn)閨AB|=1,故數(shù)軸上任一點(diǎn)到A、B距離之和大于(等于)1,即|x-4|+|x-3|≥1,故當(dāng)a＞1時(shí),|x-4|+|x-3|＜a有解.

另外,本題還可利用絕對(duì)值不等式性質(zhì)求函數(shù)的最值方法處理:

∵|x-4|+|x-3|=|x-4|+|3-x|

≥|x-4+3-x|=1,

∴a的取值范圍是a＞1.