Question

16．如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°．AD=$\sqrt{3}$，EF=2
（1）求證：AE∥平面DCF；
（2）當AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60°．

Answer 1

分析 （1）過E作EG⊥CF于G，連接DG，推導(dǎo)出四邊形ADGE為平行四邊形，從而AE∥DG，由此能證明AE∥平面DCF．
（2）分別以直線BE、BC、BA所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出當AB=$\frac{9}{2}$時，二面角A-EF-C的大小為60°．

解答 證明：（1）過E作EG⊥CF于G，連接DG，則四邊形BCGE為矩形．
又ABCD為矩形，∴AD平行且等于EG，
∴四邊形ADGE為平行四邊形，∴AE∥DG，
∵AE?平面DCF，DG?平面DCF，∴AE∥平面DCF．
解：（2）分別以直線BE、BC、BA所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
依題意可得：B（0，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），E（3，0，0），F(xiàn)（4，$\sqrt{3}$，0），
設(shè)AB=m，則A（0，0，m）．
$\overrightarrow{AE}$=（3，0，-m），$\overrightarrow{EF}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
平面CEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）．
設(shè)平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=3x-mz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取z=9，得$\overrightarrow{n}$=（3m，-$\sqrt{3}$m，9）（8分）
∵二面角A-EF-C的大小為60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{9}{\sqrt{12{m}^{2}+81}}$，解得m=$\frac{9}{2}$．
∴當AB=$\frac{9}{2}$時，二面角A-EF-C的大小為60°．（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查滿足二面角為60°的線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運用．