Question

已知函數f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的定義域；    
（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數的定義域及其求法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）使函數各部分都有意義的自變量的范圍，即列出不等式組

x+1＞0 1-x＞0

，解此不等式組求出x范圍就是函數的定義域；
（2）根據函數奇偶性的定義進行證明即可．

解答： 解：（1）由題得，使解析式有意義的x范圍是使不等式組

x+1＞0 1-x＞0

成立的x范圍，解得-1＜x＜1，
所以函數f（x）的定義域為{x|-1＜x＜1}．
（2）函數f（x）為奇函數，
證明：由（1）知函數f（x）的定義域關于原點對稱，
且f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-log_a（1+x）+log_a（1-x）=-[log_a（1+x）-log_a（1-x）]=-f（x）
所以函數f（x）為奇函數．

點評：本題主要考查函數定義域的求法，以及函數奇偶性的判斷，利用函數奇偶性的定義是解決本題的關鍵