Question

已知函數(shù)（）．

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

⑵如果是曲線上的任意一點(diǎn)，若以為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；

⑶討論關(guān)于的方程的實(shí)根情況．

 

Answer 1

【答案】

(1)單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；(2)；(3)見解析.

【解析】

試題分析：(1)先由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求出函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求解；(2)先寫出切點(diǎn)處的切線的斜率，然后根據(jù)已知條件得到，則有，結(jié)合二次函數(shù)在區(qū)間上的圖像與性質(zhì)，可得的最小值；(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，將方程的實(shí)根的情況轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題.由函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即最大值是，分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)，函數(shù)的圖象與軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與軸恰有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與軸無(wú)交點(diǎn).由方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系得解.

試題解析：(1)，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041104272540734378/SYS201404110428079698427637_DA.files/image011.png">，

則，

∵，

由得，；由得，.

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.                  2分

(2)由題意，以為切點(diǎn)的切線的斜率滿足：

，

所以對(duì)恒成立．

又當(dāng)時(shí)，，

所以的最小值為.                                 7分．

(3)由題意，方程化簡(jiǎn)得：

.

令，則．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．

所以在處取得極大值即最大值，最大值為．

所以當(dāng)，即時(shí)，的圖象與軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)，

方程有兩個(gè)實(shí)根；

當(dāng)時(shí)，的圖象與軸恰有一個(gè)交點(diǎn)，

方程有一個(gè)實(shí)根；

當(dāng)時(shí)，的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，

方程無(wú)實(shí)根.                      12分

考點(diǎn)：1.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3.利用導(dǎo)數(shù)研究切線斜率；4.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)；5.方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)