Question

函數(shù)f（x）=

x2+a

bx+c

是奇函數(shù)，其中b為正整數(shù)，f（1）=2，且f（2）＞2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及定義域；
（2）證明函數(shù)f（x）在[

1

2

，1]上的單調(diào)性，并求出f（x）在該區(qū)f（x）在該區(qū)間上的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)可求出c=0，由b∈N^*，及f（1）=2，f（2）＞2能夠求出a，b；
（2）求f′（x），判斷f′（x）的符號，從而得到函數(shù)f（x）在[

1

2

，1]上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性即可f（x）在該區(qū)間上的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=

x2+a

-bx+c

=-

x2+a

bx+c

，∴c=0；
f（1）=

1+a

b

=2，∴a=2b-1   ①；
f（2）=

4+a

2b

＞2     ②，將①帶入②得

3+2b

2b

＞2，∵b∈N^*，∴b＜

3

2

，∴b=1，a=1；
∴f（x）=

x2+1

x

；
（2）f′（x）=

x2-1

x2

，∵x∈[

1

2

，1]，∴f′（x）≤0，即f（x）在[

1

2

，1]上單調(diào)遞減；
∴f(x)∈[f(1)，f(

1

2

)]=[2，

5

2

]，即函數(shù)f（x）的值域為[2，

5

2

]．

點評：考查奇函數(shù)的定義，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，注意要正確求導(dǎo)．