Question

7．已知拋物線y²=2px（p＞0），過焦點F，且傾斜角為60°的直線與拋物線交于A，B兩點，若|AF|=6，則|BF|=2或18．

Answer 1

分析 設拋物線y²=2px（p＞0）的準線為l．如圖所示，分別過點A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足為M，N．過點B作BC⊥AM交于點C．由拋物線的定義可得：|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．由于AM∥x軸，∠BAC=∠AFx=60°．在Rt△ABC中，|AC|=$\frac{1}{2}$|AB|．化簡即可得出．

解答 解：設拋物線y²=2px（p＞0）的準線為l：x=-$\frac{p}{2}$．
如圖所示，分別過點A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足為M，N．
過點B作BC⊥AM交于點C．
則|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．
∵AM∥x軸，
∴∠BAC=∠AFx=60°．
在Rt△ABC中，|AC|=$\frac{1}{2}$|AB|
又|AM|-|BN|=|AC|，
∴|AF|-|BF|=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|），
化為|AF|=3|BF|
∵|AF|=6，
∴|BF|=2．
A，B交換，可得|BF|=18．
故答案為：2或18．

點評 本題考查了拋物線的定義、含60°角的直角三角形的性質、平行線的性質，考查了輔助線的作法，屬于中檔題．