Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax-1在區(qū)間[0，2]上的最大值為g（a），最小值為h（a）．（a∈R）
（1）求g（a）和h（a）；
（2）作出g（a）和h（a）的圖象，并分別指出g（a）的最小值和h（a）的最大值各為多少？

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-（1+a²）及x∈[0，2]，要求函數(shù)的最值，需要分類討論：①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)0＜a≤1③當(dāng)1＜a≤2④當(dāng)a≥2分別進(jìn)行求解
（2）根據(jù)分段函數(shù)的圖象的畫(huà)法及一次函數(shù)與二次的函數(shù)的圖象即可

解答：解（1）f（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-（1+a²）
∵x∈[0，2]
①當(dāng)a≤0時(shí)，g（a）=f（2）=3-4a，h（a）=f（0）=-1
②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，g（a）=f（2）=3-4a，h（a）=f（a）=-（1+a²）
③當(dāng)1＜a≤2時(shí)，g（a）=f（0）=-1，h（a）=f（a）=-（1+a²）
④當(dāng)a≥2時(shí)，g（a）=f（0）=-1，h（a）=f（2）=3-4a
綜上可得，g（a）=

3-4a，a≤1 -1，a＞1

h（a）=

-1，a≤0 -(1+a2)，0＜a＜2 3-4a，a≥2

（2）函數(shù)g（a）與h（a）的圖象如圖所示



由圖象可知，y=g（a）的最小值為-1

由圖象知，函數(shù)y=h（a）的最大值為-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)在閉區(qū)間 上的最值的求解，解題中的分類討論思想的應(yīng)用的根據(jù)是比較對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系．