Question

10．已知A（0，2）是定圓C：x²+y²=16內的一個定點，D是圓上的動點，P是線段AD的中點，求：
（1）P點所在的曲線方程E；
（2）過點A且斜率為-$\frac{3}{4}$的直線與曲線E交于M、N兩點，求線段MN的長度．

Answer 1

分析 （1）設出AD的中點坐標，利用中點坐標公式求出D的坐標，據D在圓上，將D坐標代入圓方程，求出中點的軌跡方程．
（2）求出直線方程，圓心到直線的距離，利用勾股定理，求出線段MN的長度．

解答 解：（1）設AD中點為P（x，y），
由中點坐標公式可知，D點坐標為（2x，2y-2）
∵P點在圓x²+y²=16上，∴（2x）²+（2y-2）²=16．
故線段AD中點的軌跡方程為x²+（y-1）²=4．
（2）過點A且斜率為-$\frac{3}{4}$的直線方程為3x+4y-8=0，
圓心到直線3x+4y-8=0=0的距離d=$\frac{4}{5}$，
∴線段MN的長度為2$\sqrt{4-\frac{16}{25}}$=$\frac{4\sqrt{21}}{5}$．

點評 本題考查中點坐標公式、圓心與弦中點的連線垂直弦、相關點法求動點軌跡方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．