Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，點(diǎn)在直線y=2x+1上，數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足
（1）求b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1的值；
（2）求證：

Answer 1

【答案】分析：（1）把點(diǎn)（a_n•a_n+1）代入直線方程求得數(shù)列的遞推式，整理得a_n+1+1=2（a_n+1），判斷出{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得a_n．同時(shí)根據(jù)求得，進(jìn)而判斷出整理得b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1=0，進(jìn)而看當(dāng)n=1時(shí)b₂a₁-（b₁+1）a₂=-3．，綜合可得答案．
（2）根據(jù)（1）可知進(jìn)而求得=，先看當(dāng)k≥2時(shí)求得，進(jìn)而可知進(jìn)而再看n=1時(shí)不等式也成立．原式得證．
解答：解：（1）∵點(diǎn)（a_n，a_n+1）在直線y=2x+1上，∴a_n+1=2a_n+1∴a_n+1+1=2（a_n+1），
即（a_n+1）是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列∴a_n=2ⁿ-1
又
∴
∴
∴b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1=0（n≥2）
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=a₁=1，b₂=a₂=3
則b₂a₁-（b₁+1）a₂=-3．

（2）由（1）知
∴．
∵k≥2時(shí)，=
∴••
∴
另證：當(dāng)n≥2時(shí)2^n-2≥1（僅當(dāng)n=2取等號(hào)）
∴2ⁿ-1≥3•2^n-2，即
∴當(dāng)n≥2時(shí)，
而n=1顯然成立
∴
即
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了不等式和數(shù)列的綜合，數(shù)列通項(xiàng)公式的確定，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用不等式和數(shù)列知識(shí)解決問(wèn)題的能力．