Question

（本題滿(mǎn)分15分）已知圓N：和拋物線(xiàn)C：，圓的切線(xiàn)與拋物線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)A，B，

（1）當(dāng)直線(xiàn)的斜率為1時(shí)，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；

（2）設(shè)點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，問(wèn)是否存在直線(xiàn)使得？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：因?yàn)閳AN：，

所以圓心N為（-2,0），半徑，              ………………… 1分

       設(shè)，，

      （1）當(dāng)直線(xiàn)的斜率為1時(shí)，設(shè)的方程為即

          因?yàn)橹本�(xiàn)是圓N的切線(xiàn)，所以，解得或（舍）

         此時(shí)直線(xiàn)的方程為，                      ………………… 3分

由 消去得，

所以，，，                 ………………… 4分

所以弦長(zhǎng)               …………………6分

（2）①設(shè)直線(xiàn)的方程為即（）

          因?yàn)橹本�(xiàn)是圓N的切線(xiàn)，所以，

得    ………①           ……………… 8分

由 消去得 ，

所以即且，            

，.                      ………………… 9分

因?yàn)辄c(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)M為

所以，，        

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052515032131256491/SYS201205251506308906960812_DA.files/image035.png">，所以+    …… 10分

將A，B在直線(xiàn)上代入化簡(jiǎn)得

     ……… 11分

代入，得

 

化簡(jiǎn)得      ………②           ………… 12分

①+②得

即，解得或 

       當(dāng)時(shí)，代入①解得，滿(mǎn)足條件且，

             此時(shí)直線(xiàn)的方程為；

       當(dāng)時(shí)，代入①整理得 ，無(wú)解.    …………… 13分

②   當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，

因?yàn)橹本�(xiàn)是圓N的切線(xiàn)，所以的方程為，

則得，，

即

       由①得：

                        =

  當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)不成立.               ……………… 14分

綜上所述，存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)，其方程為     ……………… 15分

另解：

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為即（必存在）

          因?yàn)橹本�(xiàn)是圓N的切線(xiàn)，所以，

得    ………①           ……………… 8分

由 消去得 ，

所以即               ………………… 9分

，.                  ………………… 10分

因?yàn)辄c(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)M為

所以，，        

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052515032131256491/SYS201205251506308906960812_DA.files/image035.png">，所以+    …… 11分

將A，B在直線(xiàn)上代入化簡(jiǎn)得

     ……… 12分

代入，得

化簡(jiǎn)得      ………②          ………… 13分

①+②得

即，解得或 …… 14分

       當(dāng)時(shí)，代入①解得，滿(mǎn)足條件；

       當(dāng)時(shí)，代入①整理得 ，無(wú)解.

綜上所述，存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)，其方程為     ……………… 15分

 

【解析】略