Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足關(guān)系式S_n+1=4a_n+2，且a₁=1，設(shè)b_n=a_n+1-2a_n（n∈N⁺）．
（1）證明：{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n+2n-1}的前項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=4a_n-1+2，與原式相減可知：a_n+1=4a_n+4a_n-1，整理可知：（a_n+1-2a_n）=2（a_n-2a_n-1），即b_n=2b_n-1，b₁=a₂-2a₁=3，可知{b_n}是等比數(shù)列以3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）可知b_n=3•2^n-1，根據(jù)等比數(shù)列及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可求得數(shù)列{b_n+2n-1}的前項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）證明：S_n+1=4a_n+2，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=4a_n-1+2，
兩式相減得：a_n+1=4a_n+4a_n-1，
∴（a_n+1-2a_n）=2（a_n-2a_n-1），
∴b_n=2b_n-1，
a₁+a₂=4a₁+2，a₂=5，
∴b₁=a₂-2a₁=3，
∴{b_n}是等比數(shù)列以3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列；
b_n=3•2^n-1，
（2）數(shù)列{b_n+2n-1}的前項(xiàng)和T_n，
T_n=$\frac{3-3•{2}^{n}}{1-2}$+$\frac{（1+2n-1）•n}{2}$，
=3•2ⁿ+n²-3，
∴T_n=3•2ⁿ+n²-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，考查等比數(shù)列和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．