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1.如圖,已知四棱錐S-ABCD,SB⊥AD,側(cè)面SAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,底面ABCD為菱形,側(cè)面SAD與底面ABCD所成的二面角為120°.
(1)求點(diǎn)S到平面ABCD的距離;
(2)若E為SC的中點(diǎn),求二面角A-DE-C的正弦值.

分析 (1)解:作SO⊥平面ABCD,連接OB,OA,OD,OB與AD交于點(diǎn)F,連接SF.推導(dǎo)出OB⊥AD,SF⊥AD.從而∠SFB為側(cè)面SAD與底面ABCD所成的二面角的平面角,由此能求出點(diǎn)S到平面ABCD的距離.
(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),使y軸與BC平行,OB,OS所在直線分別為y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A-DE-C的正弦值.

解答 解:(1)如圖,作SO⊥平面ABCD,垂足為點(diǎn)O.
連接OB,OA,OD,OB與AD交于點(diǎn)F,連接SF.
∵SB⊥AD,
∴OB⊥AD.
∵SA=SD,
∴OA=OD.
∴點(diǎn)F為AD的中點(diǎn),所以SF⊥AD.
由此知∠SFB為側(cè)面SAD與底面ABCD所成的二面角的平面角,
∴∠SFB=120°,
∵側(cè)面SAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,
∴SF=164=23,
∴SO=SF•sin60°=23×32=3,
即點(diǎn)S到平面ABCD的距離為3.…(6分)
(2)如圖以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),使y軸與BC平行,OB,OS所在直線分別為y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
由已知得:A(3,2,0),D(32,0),C(33,-4,0),E(332,-2,32),
AD=(0,-4,0),DE=(32,0,32),CE=(-332,2,32),
設(shè)平面ADE的法向量為m=xyz,
{mAD=4y=0mDE=32x+32z=0.令x=3,得m=(3,0,-1).
設(shè)平面DEC的法向量為n=(x,y,z),
{nCE=332x+2y+32z=0nDE=32x+32z=0,令x=3,得n=(3,3,-1),
設(shè)二面角的平面角為θ,
則cosθ=|mn||m||n|=4413=213
∴sinθ=12132=31313,
∴二面角A-DE-C的正弦值為31313

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法,考查二面角的正弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)2.23.85.56.57.0
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