Question

（本題滿分12分）如圖，四棱錐的底面是矩形，，且側(cè)面是正三角形，平面平面，

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為45°.若存在，試求的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析；
（Ⅱ）在棱上存在點(diǎn)，當(dāng)時，使得二面角的大小等于45°

本試題主要是考查了線線垂直的證明，以及二面角的求解的綜合運(yùn)用。
（1）根據(jù)已知條件可得，線面垂直判定定理可以得到線線垂直的證明。
（2）需要合理建立空間直角坐標(biāo)系，然后設(shè)出兩個半平面的法向量，然后借助于向量的數(shù)量積公式，表示得到向量的夾角，然后利用相等或者互補(bǔ)得到結(jié)論。
解：取中點(diǎn)，則由，得，又平面平面，且平面平面，所以平面.以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.

則
……………………2分
（Ⅰ）證明：∵
……………………………………………………………………4分
∴，
∴，即.…………………………………6分
（Ⅱ）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)，不妨設(shè)
，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，……………………………8分
∴
設(shè)是平面的法向量，則

不妨取，則得到平面的一個法向量.………10分
又面的法向量可以是
要使二面角的大小等于45°，
則45°=
可解得，即
故在棱上存在點(diǎn)，當(dāng)時，使得二面角的大小等于45° …12分