Question

4．函數(shù)y=f（x）的定義域為R，當x＞0時，有f（x）＞1，且對任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求證：f（x）在R上單調遞增；
（2）解不等式f（x）≤$\frac{1}{f（x+1）}$．

Answer 1

分析 （1）設x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，結合當當x＞0時，f（x）＞1，可得f（x₁）＞f（x₂），進而根據(jù)函數(shù)單調性的定義，可得函數(shù)f（x）在R上的單調性．
（2）根據(jù)抽象函數(shù)關系，令y=-x得f（-x）=$\frac{1}{f（x）}$將不等式進行轉化求解即可．

解答 解：（1）令x=0，y=1，則f（0+1）=f（0）f（1）=f（1），
∵x＞0，f（x）＞1，
∴f（1）≠0；
則f（0）=1；
∵當x＞0時，f（x）＞1
∴設x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，
則x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）f（x₂）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在R上是單調遞增函數(shù)．
（2）令y=-x，則f（x-x）=f（x）f（-x）=f（0）=1，
∴f（x）≠0且f（-x）=$\frac{1}{f（x）}$，
則f（x）≤$\frac{1}{f（x+1）}$等價為f（x）≤f（-x-1）．
∵f（x）在R上單調遞增，
∴x≤-x-1，即x≤$-\frac{1}{2}$，即不等式的解集為（-∞，$-\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查的是函數(shù)的單調性證明問題．抽象函數(shù)的單調性的判定，以及賦值法的應用，在解答的過程當中充分體現(xiàn)了函數(shù)單調性的定義、轉化法以及賦值法等知識．