Question

2．已知拋物線E：y²=2px焦點為F，準線為l，P為l上任意點．過P作E的一條切線，切點分別為Q．
（1）若過F垂直于x軸的直線交拋物線所得的弦長為4，求拋物線的方程；
（2）求證：以PQ為直徑的圓恒過定點．

Answer 1

分析 （1）代入x=$\frac{p}{2}$得弦長為|2p|，求出p，可得拋物線的方程；
（2）由對稱性可知：該點必在x軸上，設M（m，0），設Q（$\frac{1}{4}{{y}_{0}}^{2}$，y₀），P（-1，t），則切線為yy₀=2x+$\frac{1}{2}{{y}_{0}}^{2}$，求得t=$\frac{1}{2}$y₀-$\frac{2}{{y}_{0}}$，根據(jù)：$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=0，即可求得m的值．

解答 解：（1）代入x=$\frac{p}{2}$得弦長為|2p|，∴p=±2，∴y²=±4x；
（2）證明：由對稱性可知：該點必在x軸上，設M（m，0），
設Q（$\frac{1}{4}{{y}_{0}}^{2}$，y₀），P（-1，t），則切線為yy₀=2x+$\frac{1}{2}{{y}_{0}}^{2}$，
∴t=$\frac{1}{2}$y₀-$\frac{2}{{y}_{0}}$，
由題意可知：$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=0，即（m-$\frac{1}{4}{{y}_{0}}^{2}$）（m+1）+y₀•（$\frac{1}{2}$y₀-$\frac{2}{{y}_{0}}$）=0，
整理得：（m²+m-2）+$\frac{1}{4}{{y}_{0}}^{2}$（1-m）=0
∴m=1，
∴恒過點M（1，0）．

點評 本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關系，向量數(shù)量積的坐標表示，考查計算能力，屬于中檔題．