Question

已知雙曲線經(jīng)過點，且雙曲線的漸近線與圓相切.

（1）求雙曲線的方程；

（2）設(shè)是雙曲線的右焦點，是雙曲線的右支上的任意一點，試判斷以為直徑的圓與以雙曲線實軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）外切.

【解析】

試題分析：（1）利用“點在雙曲線上”以及“雙曲線的漸近線與圓”這兩個條件列兩個方程，求解與，進而確定雙曲線的方程；（2）根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法，考查兩圓連心線的長度與兩圓半徑之間的相互關(guān)系，同時注意將點與左焦點連接起來，注意到兩圓圓心分別為與的中點，利用中位線以及雙曲線的定義確定兩圓半徑與連心線長度之間的關(guān)系，進而確定兩圓的位置關(guān)系.

試題解析：（1）因為雙曲線經(jīng)過點，所以①.

因為雙曲線的的漸近線與圓相切，

所以圓心到直線的距離等于2，

即，整理得②.

聯(lián)立①與②，解得所以雙曲線的方程為．

（2）由（1）得，，所以雙曲線的右焦點為.

設(shè)雙曲線的左焦點為，因為點在雙曲線的右支上，

所以，即，

所以.

因為以雙曲線的實軸為直徑的圓的圓心為，半徑為；

以為直徑的圓的圓心為，半徑為，

所以兩圓圓心之間的距離為.

因為，

所以以為直徑的圓與以雙曲線實軸為直徑的圓外切.

考點：雙曲線、點到直線的距離、兩圓的位置關(guān)系