Question

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4，離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)E（0，1），問(wèn)是否存在直線l：y=kx+m與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且|ME|=|NE|？若存在，求出k的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1，（a＞b＞0）…（1分）
則由長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4，即2a=4，所以a=2．…（2分）
又離心率為，所以c=，…（3分）
所以b²=a²-c²=2…（4分）
所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為…（5分）
（Ⅱ）假設(shè)存在這樣的直線l：y=kx+m，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)為F（x₀，y₀），
因?yàn)閨ME|=|NE|，所以MN⊥EF，所以…①
（i）k=0，顯然直線y=m（-＜m＜）符合題意；
（ii）下面僅考慮k≠0情形：
由直線方程代入橢圓方程，消去y可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
由△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-4）＞0，可得4k²+2＞m²…②…（7分）
則x₀==-，．…（8分）
代入①式得，解得m=-1-2k²…（11分）
代入②式得4k²+2＞-1-2k²，得．
綜上（i）（ii）可知，存在這樣的直線l，其斜率k的取值范圍是（-，）…（13分）
分析：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4，離心率為，可求a，c的值，從而b²=a²-c²=2，進(jìn)而可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在這樣的直線l：y=kx+m，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)為F（x₀，y₀），根據(jù)|ME|=|NE|，可得，考慮k=0與k≠0情形，由直線方程代入橢圓方程，確定中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合判別式，即可確定斜率k的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程，確定中點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．