Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-（a+b）x²+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．
（1）若=0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求證：當0≤x≤1時，|f'（x）|≤max{f'（0），f'（1）}．（注：max{a，b}表示a，b中的最大值）

Answer 1

解：（1）′由=0，得a=b． …（1分）
故f（x）=ax³-2ax²+ax+c．
由f′（x）=a（3x²-4x+1）=0，得x₁=，x₂=1．…（2分）列表：

x	（-∞，）		（，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

由表可得，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，）及（1，+∞）．…（4分）
（2）f′（x）=3ax²-2（a+b）x+b=3．
①當時，則f′（x）在[0，1]上是單調(diào)函數(shù)，
所以f′（1）≤f′（x）≤f′（0），或f′（0）≤f′（x）≤f′（1），且f′（0）+f′（1）=a＞0．
所以|f′（x）|≤max{f′（0），f′（1）}．…（8分）
②當，即-a＜b＜2a，則≤f′（x）≤max{f′（0），f′（1）}．
（i） 當-a＜b≤時，則0＜a+b≤．
所以 f′（1）==≥＞0．
所以|f′（x）|≤max{f′（0），f′（1）}． …（12分）
（ii） 當＜b＜2a時，則＜0，即a²+b²-＜0．
所以=＞＞0，即f′（0）＞．
所以|f′（x）|≤max{f′（0），f′（1）}．
綜上所述：當0≤x≤1時，|f′（x）|≤max{f′（0），f′（1）}．…（16分）
分析：（1）由=0，可得a=b，所以f（x）=ax³-2ax²+ax+c．由f'（x）=a（3x²-4x+1）=0，得x₁=，x₂=1，利用導數(shù)大于0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）先求導函數(shù)f'（x）=3ax²-2（a+b）x+b=3．由于函數(shù)的對稱軸為，
0≤x≤1，故需要進行分類討論：①當時，則f'（x）在[0，1]上是單調(diào)函數(shù)；②當，即-a＜b＜2a，則≤f'（x）≤max{f'（0），f'（1）}，從而可證得結(jié)論．
點評：本題以函數(shù)為載體，主要考查用導數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當函數(shù)為增函數(shù)時，導數(shù)大于零；當函數(shù)為減函數(shù)時，導數(shù)小于零，考查二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是分類討論．