Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈R）在x=-

2

3

處取得極值，其圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)與直線(xiàn)y+2=0平行．
（1）求a，b的值；
（2）若對(duì)x∈[-1，2]都有f(x)＜

1

c

恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈R）在x=-

2

3

處取得極值，其圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)與直線(xiàn)y+2=0平行，建立方程，即可求a，b的值；
（2）依題意得x3-

1

2

x2-2x+c＜

1

c

，即x3-

1

2

x2-2x＜

1

c

-c，對(duì)x∈[-1，2]恒成立，利用導(dǎo)數(shù)法，確定左邊對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值，可得不等式，從而可求c的取值范圍．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f'（x）=3x²+2ax+b，
由題意3(-

2

3

)2+2a(-

2

3

)+b=0---①
又3×1²+2a×1+b=0---②
聯(lián)立得a=-

1

2

，  b=-2…（5分）
（2）依題意得x3-

1

2

x2-2x+c＜

1

c

，即x3-

1

2

x2-2x＜

1

c

-c，對(duì)x∈[-1，2]恒成立，
設(shè)y=x3-

1

2

x2-2x，則y'=3x²-x-2=（x-1）（3x+2）
解（x-1）（3x+2）=0得x=-

2

3

， x=1
當(dāng)x∈(-1，-

2

3

)時(shí)，y'＞0；當(dāng)x∈(-

2

3

，1)時(shí)，y'＜0；當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，y'＞0…（10分）
則f(x)極大值=

22

27

，f(x)極小值=-

3

2

又f(-1)=

1

2

，f(2)=2，所以f（x）_最大值=2；
故只須 

1

c

-c＞2…（12分）
解得c＜-

2

-1或0＜c＜

2

-1
即c的取值范圍是(-∞，-

2

-1)∪(0，

2

-1)…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值與最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問(wèn)題，確定函數(shù)的單調(diào)性，求最值是關(guān)鍵．